Mathieu-Bessel级数的渐近展开 I

我们考虑Mathieu-Bessel级数 $$S_\nu(a,b)=\sum_{n=1}^\infty \frac{n^\gamma J_\nu(nb/a)}{(n^2+a^2)^\mu}, \qquad (\mu, b>0,\ \gamma, \nu\in {\bf R})$$ 当$a\to+\infty$而其他参数固定时的渐近展开,其中$J_\nu(x)$为$\nu$阶第一类Bessel函数。当$\gamma+\nu$为正偶数时会出现一种特殊情况,此时展开式由有限代数项与一个指数小展开项组成。文中给出数值例子以说明各展开式的精度。我们还考虑了$S_\nu(a,b)$交错变体的展开,并简要提及将$J_\nu(x)$函数替换为Bessel函数$Y_\nu(x)$的级数。