广义二次高斯和的渐近展开再探

针对广义二次高斯和 $$S_N(x,\theta)=\sum_{j=1}^{N} \exp (\pi ixj^2+2\pi ij\theta),$$ 其中 $x$, $\theta$ 为实数且 $N$ 为正整数，在 $x\rightarrow 0$ 且 $N\rightarrow\infty$ 使得 $Nx$ 有限的条件下，获得了其渐近展开式。该展开式的形式对所有 $Nx+\theta$ 的值均成立，特别是在 $Nx+\theta$ 接近整数的邻域内。文中推导了展开式余项的一个简单界。数值结果展示了该展开式的精度以及该界的锐度。