部分和过程平方变差的精确渐近公式

我们建立了某些部分和过程平方变差的精确渐近公式。设 $\{X_{i}\}$ 为独立同分布、均值为零、具有有限方差 $\sigma$ 且满足矩条件 $\mathbb{E}[|X_{i}|^{2+\delta} ] < \infty$ (对于某个 $\delta > 0$) 的随机变量序列。若令 $\mathcal{P}_{N}$ 表示将区间 $[N]$ 划分为子区间的所有可能分划的集合，则我们有 $\max_{\pi \in \mathcal{P}_{N}} \sum_{I \in \pi} | \sum_{i\in I} X_{i}|^2 \sim 2 \sigma^2N \ln \ln(N)$ 几乎必然成立。这可视为重对数律的变分加强，并改进了 J. Qian 关于部分和过程与经验过程的结果。当 $\delta = 0$ 时，我们得到该结果的一个较弱的“依概率”版本。