L.L. Karasheva所引入函数的渐近展开

我们考虑整函数$$F_{n,\sigma}(x;\mu)=\sum_{k=0}^\infty \frac{\sin\,(n\gamma_k)}{\sin \gamma_k}\,\frac{x^k}{k! \Gamma(\mu-\sigma k)},\quad \gamma_k=\frac{(k+1)\pi}{2n}$$在$x\to\pm\infty$时的渐近展开，其中$\mu>0$，$0<\sigma<1$且$n=1, 2, \ldots\$。当$\sigma=\alpha/(2n)$且$0<\alpha<1$时，该函数最近由L.L. Karasheva [{\it J. Math. Sciences}, {\bf 250} (2020) 753--759]作为分数阶偏微分方程的解引入。通过将$F_{n,\sigma}(x;\mu)$表示为Wright函数的有限和，我们利用超几何型整函数的标准渐近性态来确定其渐近展开。发现该展开关键依赖于参数$\sigma$（且在较小程度上依赖于整数$n$）。给出了数值结果以说明所得不同展开的精度。