整指数型函数的Sinc变换的渐近求值及其精确多项式渐近行为

我们考虑对指数型函数 $f(x)$（类型为 $\tau>0$）的积分变换 $\int_0^\infty f(x) \, \sin^n(\lambda x)/x^n \,\text{d} x$ 在参数 $\lambda$ 取大值时的渐近求值，其中 $n$ 为正整数。我们称此积分为 Sinc 变换。在 $f(x)$ 关于 $x$ 为偶函数的条件下，我们推导出 Sinc 变换的一个终止渐近展开式，当满足条件：对于偶数 $n$ 有 $\lambda > \tau/2$，对于奇数 $n$ 有 $\lambda>\tau$ 时，该展开式在 $\lambda$ 增大时表现为 $\lambda$ 的正幂次多项式行为。