一类出现在非线性波系统中的奇异积分的渐近展开

我们对形如 $\int_{\mathbb{R}^d} F(x) / \big(\omega(x)^2 + \nu^2\big)\, dx$ 的积分，在 $\nu \to 0$ 时找到渐近展开，其中充分光滑的函数 $F$ 与 $\omega$ 在无穷远处满足自然假设，且来自集合 $\{\omega(x) = 0\}$ 的函数 $\omega$ 的所有临界点均为非退化的。这些渐近在分析非线性波系统的随机模型时起着关键作用。我们的结果推广了 [S. Kuksin, Russ. J. Math. Phys.'2017] 中的结果，其中在 $\omega$ 为签名 $(d/2,d/2)$ 且 $d$ 为偶数的非退化二次型这一特殊情形下找到了类似渐近。