广义三角积分及其零点的渐近展开

本文研究了广义三角积分 $\operatorname{ti}(a, z, \alpha)$ 及其相关模函数和相位函数在大复数 $z$ 值下的渐近性质。我们推导了这些函数的渐近展开式，并给出明确且可计算的误差界。对于实数 $a$，函数 $\operatorname{ti}(a, z, \alpha)$ 具有无数个正实零。假设 $a < 1$，我们建立了大零点的渐近展开式，并给出精确的误差估计。通过研究相位函数及其逆函数的解析性质，推导相位函数及其零点的渐近误差界。此外，我们证明对于实变量，所得渐近展开式具有包围性，即连续部分和次项提供了对应函数的上界和下界。