正整数 $m$ 对应求和 $\sum_{n=1}^\infty n^{-2m} \exp (-an^2)$ 的 Poisson-Jacobi 型变换

我们求得了求和 $$S(a;w)=\sum_{n=1}^\infty \frac{e^{-an^2}}{n^{w}}$$ 在 $a\rightarrow 0$ 且 $|\arg\,a|<\pi/2$ 时对任意有限 $w>0$ 的渐近展开。当 $w=2m$（其中 $m$ 为正整数）时的结果，是众所周知的 $m=0$ 时求和的 Poisson-Jacobi 变换的类比。文中给出了数值结果以说明该展开的精度。