交错 Hurwitz zeta 函数及其导数的渐近展开

令 $$\zeta_E(s,q)=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(n+q)^{s}}$$ 为交错 Hurwitz（或 Hurwitz 型 Euler）zeta 函数。本文中，我们得到 $\zeta_{E}(s,q)$ 的如下渐近展开 $$\zeta_E(s,q)\sim\frac12 q^{-s}+\frac14sq^{-s-1}-\frac12q^{-s}\sum_{k=1}^\infty\frac{E_{2k+1}(0)}{(2k+1)!}\frac{(s)_{2k+1}}{q^{2k+1}},$$ 当 $|q|\to\infty$ 时成立，其中 $E_{2k+1}(0)$ 为奇阶 Euler 多项式在 0 处的特殊值，并且我们还考虑了上述渐近展开余项的表示与界。此外，我们导出了 $\zeta_{E}(s,q)$ 关于其第一个变量的高阶导数 $$\zeta_{E}^{(m)}(s,q)\equiv\frac{\partial^m}{\partial s^m}\zeta_E(s,q),$$ 当 $|q|\to\infty$ 时的渐近展开。最后，我们还证明了 $\zeta_{E}(s,q)$ 的一个新的精确级数表示。