关于和式 $\sum_{n \in \mathbb{Z}} \frac{(-1)^{nk}}{(an+1)^k}$ 的注记

我们回顾欧拉恒等式 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}$ 的一个证明，该证明涉及一个二重积分的求值。我们将此方法推广以求得形如 $S(k,a)=\sum_{n \in \mathbb{Z}} \frac{(-1)^{nk}}{(an+1)^k}$ 的 Hurwitz Zeta 级数，其中 $a \in \mathbb{N} \setminus \lbrace 1 \rbrace$ 且 $k \in \mathbb{N}$。特别地，我们考虑 $(0,1)^k$ 上的一个一般 $k$ 维积分，它等于级数表示 $S(k,a)$。然后我们使用一个代数变量替换，将 $(0,1)^k$ 微分同胚地映射到 $k$ 维双曲多面体。我们将该积分解释为两个概率之和，并用组合技术求出此类概率的显式表示。