利用裂项级数计算 $\zeta(2k)$、$\beta(2k+1)$ 及更广情形

我们给出如下著名表达式的一些简单证明：$$\zeta(2k) = \sum_{m=1}^\infty \frac{1}{m^{2k}}, \qquad \beta(2k+1) = \sum_{m=0}^\infty \frac{(-1)^m}{(2m+1)^{2k+1}},$$ 其中 $k = 1,2,3,\dots$，用 Bernoulli 与 Euler 多项式表示。该计算仅使用这些多项式的定义性质并借助裂项级数完成。同一方法也给出 $\zeta(2k+1)$ 与 $\beta(2k)$ 的积分公式。此外，该方法也适用于类型 $$\sum_{m\in\mathbb{Z}} \frac{1}{(2m-\mu)^s}, \qquad \sum_{m\in\mathbb{Z}} \frac{(-1)^m}{(2m+1-\mu)^s},$$ 的级数，此时使用 Apostol-Bernoulli 与 Apostol-Euler 多项式。