关于 $\zeta^{2}(2m+1)$ 的拉马努金型公式及其推广

我们得到了一个涉及奇 zeta 值平方的拉马努金型公式。获得此类结果的关键部分在于构想出拉马努金关于 $\zeta(2m+1)$ 的公式中所涉及的爱森斯坦级数的正确类比。随后将该 $\zeta^{2}(2m+1)$ 的公式沿两个不同方向推广：其一通过考虑广义除数函数 $\sigma_z(n)$，其二通过研究上述爱森斯坦级数更一般的类比，该类比含有一个额外参数 $N$。由第一种推广导出了若干重要的特例。例如，我们得到了 $\zeta(1+\omega)\zeta(-1-\omega)$ 的级数表示，其中 $\omega$ 是 $\zeta(z)$ 的非平凡零点。我们还以 $\zeta(4k-1)$ 与 $\zeta(4k+1)$（$k\in\mathbb{N}$）的有理线性组合形式求出了一个涉及第二类修正贝塞尔函数的级数。