关于 Ramanujan 的 ζ(1/2) 与 ζ(2m+1) 公式

Ramanujan 遗失笔记的第 332 页包含一个关于 ζ(1/2) 的引人注目的恒等式，多年来已被许多数学家研究。在同一页上，Ramanujan 还记录了级数 \begin{align*} \frac{1^r}{\exp(1^s x) - 1} + \frac{2^r}{\exp(2^s x) - 1} + \frac{3^r}{\exp(3^s x) - 1} + \cdots, \end{align*} 其中 $s$ 为正整数，$r-s$ 为任意偶整数。遗憾的是，Ramanujan 未给出其任何公式。该级数由 Kanemitsu、Tanigawa 和 Yoshimoto 重新发现，尽管他们仅研究了 $r-s$ 为负偶整数的情形。近来，Dixit 与第二作者推广了 Kanemitsu 等人的工作，并对上述 $r-s$ 为任意偶整数的级数获得了变换公式。在推广 Kanemitsu 等人工作的过程中，Dixit 与第二作者得到了 Ramanujan 奇 zeta 值公式的一个优美推广。在本文中，我们研究一个无穷级数的变换公式，有趣的是，我们推导出了 Ramanujan 的 ζ(1/2) 公式、Wigert 的 ζ(1/k) 公式以及 Ramanujan 的 ζ(2m+1) 公式。此外，我们依 Ramanujan 之精神获得了 ζ(-1/2) 的一个新恒等式。