Ramanujan 奇 zeta 值公式的 Dirichlet 特征类比

2001 年，Kanemitsu、Tanigawa 和 Yoshimoto 研究了如下广义 Lambert 级数，$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{N-2h} }{\exp(n^N x)-1},$$ 其中 $N \in \mathbb{N}$ 且 $h\in \mathbb{Z}$，并对 $h$ 有一定限制。最近，Dixit 与末位作者指出该级数早已以更一般的形式出现于 Ramanujan 的遗失笔记（Lost Notebook）中。尽管 Ramanujan 未给出其任何变换恒等式。在同一篇论文中，Dixit 与末位作者在推广 Kanemitsu 等人的结果时，发现了 Ramanujan 关于 $\zeta(2m+1)$ 的著名恒等式的一个优雅推广。在后续工作中，Kanemitsu 等人探索了上述级数的另一扩展版本，即 $$\sum_{r=1}^{q}\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\chi(r)n^{N-2h}{\exp\left(-\frac{r}{q}n^N x\right)}}{1-\exp({-n^N x})},$$ 其中 $\chi$ 表示模 $q$ 的 Dirichlet 特征，$N\in 2\mathbb{N}$ 且对变量 $h$ 有一定限制。在本文中，我们研究上述级数对{\it 任意} $N \in \mathbb{N}$ 与 $h \in \mathbb{Z}$ 的情形。我们得到了 Dixit 与末位作者恒等式的 Dirichlet 特征类比，并由此导出了 Ramanujan 关于 $\zeta(2m+1)$ 恒等式的双变量推广。此外，我们建立了类似于 Ramanujan 关于 $\zeta(1/2)$ 著名恒等式的 $L(1/3, \chi)$ 新恒等式。