一类与满足 Hecke 函数方程的狄利克雷级数相关的恒等式

我们考虑由两个狄利克雷级数生成的两个序列 $a(n)$ 和 $b(n)$，$1\leq n<\infty$，其形式为 $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a(n)}{\lambda_n^{s}}\qquad\text{和}\qquad \sum_{n=1}^{\infty}\frac{b(n)}{\mu_n^{s}},$$ 它们满足一个涉及伽马函数 $\Gamma(s)$ 的常见函数方程。我们建立了一个一般恒等式。其中一侧出现一个涉及 $a(n)$ 和修正贝塞尔函数 $K_{\nu}$ 的无穷级数，另一侧则是涉及 $b(n)$ 的无穷级数，其为 Hurwitz zeta 函数的类比。我们考察了七个特例，包括 $a(n)=\tau(n)$ 和 $a(n)=r_k(n)$，其中 $\tau(n)$ 为拉马努金算术函数，$r_k(n)$ 表示将 $n$ 表示为 $k$ 个平方和的方式数。这六个特例中的大多数似乎是新的。