分数次求和与类 Euler 恒等式

我们为形如 $$\sum_{\nu=1}^x f(\nu)$$ 的求和引入一个自然定义，其中项数 x 是相当任意的实数甚至复数。所得理论包含由 gamma 函数对阶乘的已知插值，或 Euler 鲜为人知的公式 \sum_{\nu=1}^{-1/2} \frac 1\nu = -2\ln 2。许多经典恒等式如几何级数与二项式定理都很好地推广到这一更一般的情形。具有分数项数的求和与特殊函数密切相关，特别是 Riemann 与 Hurwitz zeta 函数。许多关于分数求和的结果可解释为经典的无穷和或积或极限，包括形如 $$\lim_{n\to\infty}[ e^{\frac n 4(4n+1)}n^{-\frac 1 8 - n(n+1)}(2\pi)^{-\frac n 2} \prod_{k=1}^{2n} \Gamma(1+\frac k 2)^{k(-1)^k} ] = \sqrt[12]{2} \exp({5/24} - \frac 3 2 \zeta'(-1) -\frac{7\zeta(3)}{16\pi^2})$$ 的恒等式，其中一些似乎是新的。