一种计算若干数论特殊函数的统一策略

我们引入一种算法来计算属于如下定义的合适集合 ${\mathscr F}$ 的函数： $f\in {\mathscr F}$ 意指对于固定的 $s\in A\subset {\mathbb R}$ 和 $x>0$，$f(s,x)$ 在 $x_0=1$ 处具有幂级数展开且收敛半径大于等于 $1$；此外，它满足步长为 $1$ 的函数方程，且 Euler-Maclaurin 求和公式可应用于 $f$。以 Euler gamma 函数 $\Gamma$ 表示，我们将证明对于 $x>0$，$\log \Gamma(x)$、digamma 函数 $\psi(x)$、多 gamma 函数 $\psi^{(w)}(x)$（$w\in {\mathbb N}$，$w\ge1$），以及对于固定的 $s>1$，Hurwitz $\zeta(s,x)$ 函数及其一阶偏导数 $\frac{\partial\zeta}{\partial s}(s,x)$ 均属于 ${\mathscr F}$。在所有这些情形中，所涉及幂级数的系数将依赖于 $\zeta(u)$（$u>1$）的值，其中 $\zeta$ 为 Riemann zeta 函数。作为副产品，我们还将展示如何通过将 $\zeta(s,x)$ 和 $\frac{\partial\zeta}{\partial s}(s,x)$ 的反射公式代入快速傅里叶变换算法的第一步来计算 Dirichlet $L$-函数 $L(s,\chi)$ 和 $L^\prime(s,\chi)$（$s>1$，$\chi$ 为本原 Dirichlet 特征）。此外，我们将获得关于 Dirichlet $\beta$-函数和 Catalan 常数 $G$ 的一些新公式与算法。最后，我们研究 Bateman $G$-函数和交替 Hurwitz zeta 函数（亦称 $\eta$-函数）的情形；我们将表明，即使它们不属于 ${\mathscr F}$，我们的方法也可经调整用于处理它们。在最后一节中，我们还将描述一些测试，显示相对于 $\zeta(s,x)$ 和 $\frac{\partial\zeta}{\partial s}(s,x)$（$s>1$，$x>0$）的标准多精度实现取得了性能提升。