基于 Zeta 正则化意义的某些解析函数的发散积分

本文推广了 Zeta 函数正则化技术，该技术为发散幂级数给出有意义的解，以便为某些超越函数 $f(x)$ 的发散积分赋予有限值。假设这些函数是解析的，因此它们具有无穷收敛半径的收敛 Maclaurin 级数。利用 Maclaurin 级数与二项式展开，我们将发散积分等价地转化为关于 Riemann zeta 函数的无穷级数。结果表明，在某一条件下该无穷级数收敛，从而发散积分的解变为 $\int_0^{\infty} f(x) dx = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1}}{(k+2)!} f^{(k)}(0)$。该 Zeta 正则化技术的优点在于计算此类发散积分时无需引入任何截断函数。我们将此公式应用于计算若干常见超越函数的发散积分。