Dirichlet $L$-函数特殊值的快速计算

我们考虑将黎曼 zeta 函数 $\zeta(s)$ 与 Dirichlet $L$-函数 $L(s,\chi)$ 计算到 $p$ 位精度，其中 $p$ 较大。利用近似函数方程结合非完备 gamma 函数的渐近快速计算，我们观察到若 $s$ 为固定次数且代数高度不超过 $O(p)$ 的代数数，则可达到 $p^{3/2+o(1)}$ 的位复杂度。这相较于已发表算法的 $p^{2+o(1)}$ 复杂度有所改进，并尤其给出了 Stieltjes 常数的 $p^{3/2+o(1)}$ 复杂度算法，以及精确计算第 $n$ 个 Bernoulli 数或第 $n$ 个 Euler 数的 $n^{3/2+o(1)}$ 复杂度算法。