Dirichlet L 函数及其特殊值与零点的离散方法

我们发展了 Dirichlet L 函数的离散谱框架，揭示其特殊值背后的组合结构，并将其与零点相联系。该方法通过有限谱和谐循环图 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 关联的 Dirichlet 级数近似 $L_n(s,\chi)$，并研究其在 $n\rightarrow \infty$ 时的渐近行为。结合精细的欧拉-马尔庞弗展开与结构多项式性质，我们表明在整数参数处，渐近展开会终止并产生精确恒等式。该渐近到精确原理产生新的 Dirichlet L 函数特殊值无限族关系，并以不同机制恢复了 Xie、Zhao 和 Zhao 之前获得的公式。我们方法的一个有趣特点是 $\zeta(2n)$ 以及所有 Dirichlet L 函数的相应特殊值均可通过固定循环图上任意根向 spanning 森林的有限组合解释。关于零点，同一框架导致关于实数零点的一些看法，并将奇异原始字符的情况下的广义黎曼假设以一种关于 $\xi_n(1-s,\overline{\chi})$ 与 $\xi_n(s,\chi)$ 完备离散函数之间关系的渐近函数方程进行重新表述。这一工作确立了在之前作品中获得的一维图景中剩余的情形。