莫德尔-托纳希 zeta 函数及 Herglotz-Zagier 类型函数的函数方程

莫德尔-托纳希 zeta 函数与 Herglotz-Zagier 函数 $F(x)$ 是数学中的两个重要函数。通过对前者的特定情形之一，即 $\Theta(z, x)$ 进行推广，我们展示了这两种函数的理论是如何紧密相连的。我们获得了 $\Theta(z, x)$ 的三项函数方程，并将其分解为以 Herglotz- Hurwitz 函数 $\Phi(z, x)$ 为界的形式。这种分解可视为 $\Phi(z, x)$ 的二项函数方程。通过这一结果，我们不仅能够获得关联 $F(x)$ 与 $F(1/x)$ 的扎贱恒等式，亦能获得对伊希巴巴的推广函数 $\Phi_k(x)$ 的二项函数方程——这一问题已悬望二十余年。我们进一步通过引入两个与 Dirichlet 字符相关联的高斯和，推广了 $\Theta(z, x)$，并将其分解为涉及费克ete 多项式及字符折叠积的积分。这一结果从中得到无数Herglotz 类型积分的函数方程族，其中只有两个（由 Kumar 和 Choie 所知）是已知的。其中一个涉及积分 $J(x)$，其特殊值近期在 Muzzaffar 与 Williams 的工作中受到广泛关注，也在 Radchenko 与 Zagier 的工作中得到探讨。我们还完成了对 $\Theta(z, x)$ 推广形式的解析延拓，这使我们能够获得某些双重级数与Herglotz 类型积分之间的变换，或获得其显式求值。