一般 theta 变换公式的类似形式

本文考虑了一类涉及合流超几何函数 ${}_1F_{1}(a;c;z)$ 和 Riemann $\Xi$-函数 的新积分。它推广了一类包含 S. Ramanujan、G.H. Hardy 和 W.L. Ferrar 某些积分的积分类，并作为副产品给出了形如 $F(z,\alpha)=F(iz,\beta)$ 的变换公式，其中 $\alpha\beta=1$。作为特例，我们推导了一般 theta 变换公式的扩展版本以及 Ferrar 和 Hardy 某些公式的推广。此外，还给出了 Ramanujan 一个著名恒等式的单变量推广。最后，我们推广了一个由 Ramanujan、Hardy 和 J.E. Littlewood 提出的涉及 M"obius 函数无穷级数的猜想。