广义修正Bessel函数与theta变换公式的高阶类似

本文研究了第二类修正Bessel函数 $K_{z}(x)$ 的一种新推广。我们得到了其优美的级数与积分表示、微分-差分方程及渐近展开，从而预示其可能具有丰富的理论。引入这一推广的动机在于获得一个函数，该函数能在Koshliakov核 $\cos \left( {{\pi z}} \right){M_{2z}}(4\sqrt {x} ) - \sin \left( {{\pi z}} \right){J_{2z}}(4\sqrt {x} )$ 中给出一对新的互逆函数，并包含涉及 $K_{z}(x)$ 的自互逆对。我们给出了其在寻找 $F(z, w, \alpha)=F(z,iw,\beta)$（其中 $\alpha\beta=1$）形式的模变换方面的应用。作为例子，我们得到了Ramanujan著名公式的一个优美推广，该公式等价于 $SL_{2}(\mathbb{Z})$ 上非全纯Eisenstein级数的函数方程。这一推广可视为一般theta变换公式的高阶类似。随后我们用它来计算一个涉及Riemann $\Xi$-函数且由两个合流超几何函数乘积之和构成的积分。