涉及修正贝塞尔函数与一类算术函数的两个一般级数恒等式

我们考虑两个序列 $a(n)$ 和 $b(n)$，$1\leq n<\infty$，它们由狄利克雷级数 $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a(n)}{\lambda_n^{s}}\qquad\text{和}\qquad \sum_{n=1}^{\infty}\frac{b(n)}{\mu_n^{s}},$$ 生成，满足一个涉及伽马函数 $\Gamma(s)$ 的熟知函数方程。我们建立了两个一般恒等式。第一个涉及修正贝塞尔函数 $K_{\mu}(z)$，可被视为一种“模”或“theta”关系，其中出现的是修正贝塞尔函数而非指数函数。第二个恒等式中出现的有 $K_{\mu}(z)$、虚变量贝塞尔函数 $I_{\mu}(z)$ 以及普通超几何函数 ${_2F_1}(a,b;c;z)$。尽管某些特例见于文献，但这些一般恒等式是新的。恒等式中出现的算术函数包括拉马努金的算术函数 $\tau(n)$；$n$ 表示为 $k$ 个平方和的方式数 $r_k(n)$；以及本原狄利克雷特征 $\chi(n)$。