三角级数与贝塞尔级数的平衡导数、恒等式及界

受拉马努金遗失笔记中发表的两个恒等式的启发，这两个恒等式分别关联高斯圆问题和狄利克雷除数问题，在早前的一篇论文中，本文的三位作者推导了某些三角函数乘积之和表示为贝塞尔函数双级数的表达式。本文通过引入平衡导数的新概念对这些级数进行推广，从而得到进一步的定理。正如我们将在下文看到的，非平衡情形的收敛区域与平衡情形完全不同。从这一视角看，拉马努金凭直觉提出了用我们新术语来说为“平衡”的条目，这是引人注目的。若 $x$ 表示我们求和式中出现的三角函数乘积的个数，除了证明上述恒等式外，还建立了当 $x\to\infty$ 时这些和的上界与下界的定理和猜想。