Behrens-Fisher 问题的统一方法

本文提出一种统一框架来研究两样本 Behrens-Fisher 问题——即当两个正态总体具有不等且未知方差时进行均值相等性检验——并推导出经典检验统计量 null 分布的紧凑表达式。我们的方法通过 Mellin-Barnes 分解，将加权独立卡方变量之根分解，从而将困难的二维积分压缩为可处理的单周积分。闭合积分 contours 可得残数级数，当任一样本的自由度为奇数时，该级数终止。另一方面，Euler-Beta 化简识别出该密度函数为高斯超几何函数，其参数显式给出，可数值稳定地恢复在方差相等时的 Student t 分布。Ramanujan 的主定理提供精确的逆幂尾系数，从而界定 Lugannani-Rice saddlepoint 近似误差并支持可靠的尾部分析。该框架揭示了为何出现超几何结构、为何某些有限求和情形出现，以及如何在不改变分析框架的前提下从分布主体转向尾部。最后，我们在广泛的样本量和方差比网格上制表确切的双侧临界值，揭示了著名 Welch 近似在何处从保守转向不保守，其最大尺度失真量。