指数加权框架与从非均匀傅里叶采样中稳定恢复多维函数

在本文中，我们考虑从其傅里叶变换的非均匀点采样集合中恢复紧支撑多元函数的问题。我们通过使用加权傅里叶框架的概念来实现这一目标。Beurling 的一项开创性结果表明，只要采样点相对分离且具有足够的密度，它们就能构成经典的傅里叶框架。然而，该结果不允许采样点任意聚集，而这在实践中经常发生。在保持密度条件尖锐且与维度无关的同时，我们的第一个结果去除了分离条件，并表明仅密度就足够了。然而，该结果并未导出框架界的估计。Groechenig 的一个已知结果提供了显式估计，但仅限于随维度线性恶化的密度条件。在我们的第二个结果中，我们通过减少维度依赖性改进了这些界。特别是，对于紧支撑包含在球体内的函数，我们提供了与维度无关的显式框架界。接下来，我们展示了我们的两个主要结果如何为一种重建算法提供新见解——该算法基于现有的广义采样框架——允许从有限采样集合中在任何特定基下进行稳定且准最优的重建。最后，我们构建了实践中常用的足够密集的采样方案——抖动、径向和螺旋采样方案——并提供了几个示例来说明我们的方法在这些方案测试下的有效性。