Ramanujan恒等式与整数在特定二元及四元二次型中的表示
数论
2007-05-23 v2 组合数学
摘要
我们重新考察Fermat和Euler关于整数在二元二次型x^2+5y^2中表示的旧猜想。利用Ramanujan的_1ψ_1求和公式，我们建立了∑_{n,m=-∞}^{∞} q^{n^2+5m^2}的一个新的Lambert级数恒等式。Fermat和Euler的猜想被表明可由此新公式轻易推出。但我们并未止步于此。运用Ramanujan笔记本中发现的各种公式并稍加巧思，我们得到了与二次型如x^2+6y^2、2x^2+3y^2、x^2+15y^2、3x^2+5y^2、x^2+27y^2、x^2+5(y^2+z^2+w^2)、5x^2+y^2+z^2+w^2相关的某些无穷乘积的一族新Lambert级数。在此过程中，我们发现了许多新的可乘eta-商并确定了它们的系数。
引用
@article{arxiv.math/0611300,
title = {Ramanujan's Identities and Representation of Integers by Certain Binary and Quaternary Quadratic Forms},
author = {Alexander Berkovich and Hamza Yesilyurt},
journal= {arXiv preprint arXiv:math/0611300},
year = {2007}
}
备注
26 pages, no figures, fun to read