与 Ramanujan 和 Jacobi 椭圆函数相关的 Berndt 型积分与级数

本文中，我们以封闭形式求出了两类被积函数含双曲与三角函数的无穷积分族。我们称其为 Berndt 型积分，因他开创了类似积分的研究。我们首先通过 Gamma 函数的特殊值，以两种完全不同的方法建立了四类双曲和的显式求值，推广了 Ramanujan 与 Zucker 先前考虑的那些和。第一类我们通过精炼 Ramanujan 关于某些 $q$-级数的两个结果而发现。对于第二类，我们比较了几个 Jacobi 椭圆函数的傅里叶级数展开与麦克劳林（Maclaurin）级数展开。接着，通过围道积分我们将两类 Berndt 型积分转化为上述双曲和，这些和均可封闭求值。随后我们为其中一类发现了显式公式。全文我们给出许多例子，使我们能在文末对另一类 Berndt 型积分提出一个猜想的显式公式。