广义Lambert级数、Raabe积分与Ramanujan关于$\zeta(2m+1)$公式的双参数推广

本文对广义Lambert级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{N-2h}\exp{(-an^{N}x)}}{1-\exp{(-n^{N}x)}}, 0<a\leq 1,\ x>0$，$N\in\mathbb{N}$且$h\in\mathbb{Z}$进行了全面研究。我们在此获得的两个该级数的一般变换引出了Ramanujan著名$\zeta(2m+1)$公式（$m>0$）与$\log\eta(z)$变换公式的双参数推广。推导了该变换的众多重要特例。对奇数$N$与$m\in\mathbb{N}$，获得了联系$\zeta(2N+1), \zeta(4N+1),\cdots, \zeta(2Nm+1)$的恒等式。得到了关于奇zeta值与广义Lambert级数的Zudilin型与Rivoal型超越性结果。给出了$\zeta(2m+1)$超越性的一个判据以及关于欧拉常数$\gamma$无理性的Zudilin型结果。获得了类似于Ramanujan与Klusch在$N$为偶数时的新结果，以及涉及$\zeta\left(2m+1-\frac{1}{N}\right)$的超越性结果。