广义兰伯特级数与奇数zeta值的算术性质

本文指出，Kanemitsu、Tanigawa和Yoshimoto研究的广义兰伯特级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{N-2h}}{e^{n^{N}x}-1}$可以在拉马努金遗失笔记的第$332$页以一个稍更一般的形式找到。我们通过移除Kanemitsu、Tanigawa和Yoshimoto对参数$N$和$h$施加的限制，扩展了他们获得的该级数的一个重要变换。从我们的扩展中，我们推导出拉马努金关于奇数zeta值的著名公式的一个优美的新推广，对于奇数$N$和$m>0$，它给出了$\zeta(2m+1)$与$\zeta(2Nm+1)$之间的关系。对于任意偶数$N$和$m\in\mathbb{Z}$，得到了一个与前述推广互补的结果。它推广了Wigert的一个变换，并可被视为$\zeta\left(2m+1-\frac{1}{N}\right)$的一个公式。这些变换的应用包括对戴德金eta函数$\eta(z)$对数变换的推广、关于某些值超越性的Zudilin型和Rivoal型结果，以及欧拉常数$\gamma$的一个超越性判据。