gcd求和函数的加权平均和 II

在本文中，我们建立了如下两个涉及 Gamma 函数与 Bernoulli 多项式的恒等式，即 $$\sum_{k\leq x}\frac{1}{k^s} \sum_{j=1}^{k^s}\log\Gamma\left(\frac{j}{k^s}\right) \sum_{\substack{d|k \\ d^{s}|j}}f*\mu(d) \quad {\rm and } \quad \sum_{k\leq x}\frac{1}{k^s}\sum_{j=0}^{k^{s}-1} B_{m}\sum_{\substack{d|k \\ d^{s}|j}} f*\mu(d)$$ 其中 $s> 1$ 为任意固定整数，$f$ 为任意算术函数。我们对取不同乘法函数 $f$ 的情形给出了它们的渐近公式。我们还考虑了与上述恒等式相关的 Dirichlet 级数的若干公式。本文是作者早前工作的延续。