概率数论视角下莫比乌斯函数部分和问题

我们从最近一篇预印本文章中重新审视几类混合型乘性-加性类型函数。这些函数 $g(n)$ 拥有 Dirichlet 生成函数（DGF） $\zeta(s)^{-1} (1+P(s))^{-1}$ 其中 $\Re(s) > 1$，且 $P(s) = \sum_p p^{-s}$ 为素数 zeta 函数，$|g(n)| = \lambda(n) g(n)$ 拥有 DGF $\zeta(2s)^{-1}(1-P(s))^{-1}$，以及 $C_{\Omega}(n)$ 拥有 DGF $(1-P(s))^{-1}$。这些函数变体均以加性（分别为强加性）函数 $\omega(n)$ 和 $\Omega(n)$ 为定义依据。这两个辅助函数在前一手稿中用于将经典莫比乌斯函数的部分和 $\mu(n)$ 关联到涉及素数计数函数 $\pi(x)$ 和 Liouville lambda 函数 $\lambda(n) := (-1)^{\Omega(n)}$ 的带符号部分和。本文我们探索使用关于 $\Omega(n)$ 和 $\mu^2(n)$ 在大 $x$ 下独立性的若干概率假设，对第一手稿中的身份进行求和。我们恢复了 $|M(x)| / \sqrt{x}$ 的极限增长形式的证明，其假设相较于依赖黎曼假设或假设 $\zeta(s)$ 的简单非平凡零点线性无关性的其他作者先前结果具有更可实现的严谨性。