Zeta 函数与具有某些不寻常素数集合的渐近加性基

固定 $\delta\in(0,1]$，$\sigma_0\in[0,1)$ 以及实值函数 $\varepsilon(x)$，满足 $\limsup_{x\to\infty}\varepsilon(x)\le 0$。对于每一个计数函数 $\pi_{\mathcal P}(x)$ 满足如下形式估计的素数集合 ${\mathcal P}$：$$\pi_{\mathcal P}(x)=\delta\,\pi(x)+O\bigl(x^{\sigma_0+\varepsilon(x)}\bigr),$$ 我们定义一个与 Riemann zeta 函数 $\zeta(s)$ 密切相关的 zeta 函数 $\zeta_{\mathcal P}(s)$。对于 $\sigma_0\le\frac12$，我们证明 Riemann 假设等价于 $\zeta_{\mathcal P}(s)$ 在区域 $\{\sigma>\frac12\}$ 内的非零性。对于每一个包含素数 $2$ 且其计数函数满足如下形式估计的素数集合 ${\mathcal P}$：$$\pi_{\mathcal P}(x)=\delta\,\pi(x)+O\bigl((\log\log x)^{\varepsilon(x)}\bigr),$$ 我们证明 ${\mathcal P}$ 是 ${\mathbb N}$ 的渐近加性基，即对于某个整数 $h=h({\mathcal P})>0$，和集 $h{\mathcal P}$ 包含除了有限多个之外的所有自然数。例如，集合 $$\{2,547,1229,1993,2749,3581,4421,5281\ldots\}$$ （由 $2$ 及其后每第一百个素数构成）构成了 ${\mathbb N}$ 的一个渐近加性基。