素数定理余项的分析推论

众所周知，素数分布在数论中起着核心作用。自1860年黎曼的论文以来，人们就知道素数分布可以通过黎曼ζ函数$\zeta(s)$的无零点区域来描述。该函数有无穷多个零点，并在$s=1$处有一个唯一的极点。$s=-2, -4, -6, ...$处的零点称为平凡零点。$\zeta(s)$的非平凡零点全部位于所谓的临界带$0<\Re(s)<1$中。定义$\Lambda(n)=\log p$，当$n=p^m$，其中$p$为素数，$m$为正整数；否则为零。设$x\ge 2$。素数定理的$\psi$形式为$\psi(x)=\sum_{n\le x}\Lambda(n)=x+O\bigl(x^{1-H(x)}\log^2 x\big)$，其中求和遍历所有正整数，$H(x)$是$x$的某个函数，满足$\tfrac{1}{2}\le H(x)<1$。Turán在1950年证明，该$\psi$形式蕴含$\zeta(s)$在$\Re(s)>h(t)$处没有零点，其中$t=\Im(s)$，$h(t)$是以某种方式与$H(x)$相关联的函数，满足$1/2\le h(t)<1$，但$H(x)$和$h(t)$都接近1。我们证明了类似于Turán的结果，其中$\tfrac{1}{2}\le H(x)<1$和$\tfrac{1}{2}\le h(t)<1$以修改后的形式成立，且没有任何其他限制。证明涉及对Turán幂和方法的略微修正和应用。