关于 Riemann Zeta 函数 $a$-点的注记

对于任意 $a\in\mathbb{C}$，$\zeta(s)-a$ 的零点记为 $\rho_a=\beta_a+i\gamma_a$，称为 Riemann zeta 函数 $\zeta(s)$ 的 $a$-点。在本文中，我们重新表述了 Garunk\v{s}tis 和 Steuding 所证明的关于 $\zeta(s)$ 的 $a$-点的一些基本结果。然后我们推导出求和 $$S_T(a,\delta)=\sum_{\tau<\gamma_a\leqslant T}\zeta'(\rho_a+i\delta)X^{\rho_a},\quad T\to\infty,$$ 的渐近式，其中 $0\ne\delta=\frac{2\pi\alpha}{\log\frac{T}{2\pi X}}\ll 1$，且 $X>0$ 和 $\tau\geqslant|\delta|+1$ 是固定的。我们还发现了 $S_T(a,\delta)$ 在不同 $X$ 范围内有趣的变化行为，这比 Gonek 和 Pearce-Crump 先前描述的行为更为复杂。