黎曼 zeta 函数的负矩

在假设黎曼假设的前提下，我们研究黎曼 zeta 函数的负矩，并在 $\zeta(s)$ 位移的某些范围内得到渐近公式。例如，对 $|\zeta(1/2+\alpha+it)|^{-2k}$ 关于 $t$ 从 $T$ 积分到 $2T$，当位移 $\alpha$ 大致大于 $\frac{1}{\log T}$ 且 $k < 1/2$ 时，我们得到一个渐近公式。只要 $\log\frac{1}{\alpha} \ll \log \log T$，对于小得多的位移我们也得到非平凡的上界。这为 Gonek 关于黎曼 zeta 函数负矩的猜想提供了部分进展，并在某些范围内解决了该猜想。作为一个应用，我们还得到了广义 M"{o}bius 函数平均值的上界。