罗pense zeta 函数零点的渐近性质

我们尝试通过内在属性来定义罗pense zeta 函数零点序列。设 $(z_k)_{k\in \mathbb{N}}$ 为 $\zeta(s)$ 的非平凡零点序列（取虚部为正）。我们记 $z_k= 1/2+i\tau_k$（RH 认为这些 $\tau_k$ 全部为实数）。则序列 $(\tau_k)_{k\in \mathbb{N}}$ 满足以下渐近关系\n\n$$\sum_{k\in\mathbb{N}}\frac{2x}{x^2+\tau_k^2}\simeq \frac12\log\frac{x}{2\pi}+\sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}{x^n},\,\,x\to +\infty$$\n\n其中 $a_{2n+1}=2^{-2n-2}(8-E_{2n})$，$a_{2n}=(1-2^{-2n+1})B_{2n}/(4n)$。是否存在其他序列 $(\alpha_k)_{k\in \mathbb{N}}$，由实数或复数组成，满足这一性质？本文针对这些问题进行了探讨。