多重 zeta 函数在实轴上含相同自变量时的性态

我们研究 Euler-Zagier 型 $r$ 重 zeta 函数含相同自变量 $\zeta_r(s,s,\ldots,s)$ 在实轴上的性态。我们的基本工具是 Newton 经典恒等式的“无穷”版本。我们进行了数值计算，并绘制了若干小 $r$ 值下实 $s$ 的 $\zeta_r(s,s,\ldots,s)$ 图像。这些图像暗示了 $\zeta_r(s,s,\ldots,s)$ 的各种性质，其中部分我们给出了严格证明。当 $s \in [0,1]$ 时，我们证明 $\zeta_r(s,s,\ldots,s)$ 在 $\Re s=1/k$ ($1\leq k\leq r$) 处有 $r$ 条渐近线，并确定了 $\zeta_r(s,s,\ldots,s)$ 在这些渐近线附近的渐近性态。数值计算确立了 $2\leq r\leq 10$ 时若干实零点的存在性（其中仅 $r=2$ 的情形先前已知）。基于这些计算，我们提出了关于一般 $r$ 零点个数的猜想，并给出计算零点个数的公式。我们还考虑了 $\zeta_r(s,s,\ldots,s)$ 在区间 $[0,1]$ 外的性态。我们证明了 $\zeta_r(-k,-k,\ldots,-k)$ 的渐近公式，其中 $k$ 取奇正整数并趋于 $+\infty$。此外，关于 $\zeta_r(s,s,\ldots,s)$ 的实零点个数，我们证明对任意 $n \geq 2$，在区间 $(-2n,-2(n-1))$ 上恰有 $(r-1)$ 个实零点。