黎曼 Zeta 函数函数方程的另一种形式，II

本文探讨黎曼最杰出的成就之一，即 Zeta 函数 {\zeta}(s) 函数方程的对称形式。在展示黎曼的第一个证明之后，我们提出了欧拉 Zeta 函数和与奇数相关的交错 Zeta 函数对称形式函数方程的一个新的、简单且直接的证明。这是一个欧拉本人若在其论文"Remarques sur un beau rapport entre les s\'eries des puissances tant direct que r\'eciproques"末尾稍作推进即可完成的证明。这个更一般的函数方程衍生出一个特殊函数，此处命名为 {\cyr \E}(s)，我们证明利用类似于黎曼第二个证明的技术，它可以解析延拓为整个复平面上的整函数。此外，我们能够建立雅可比虚变换与拉马努金的一个无穷级数恒等式之间的联系。最后，在研究函数 {\cyr \E}(s) 的解析性质后，我们利用欧拉 - 布尔求和公式，完善并扩展了关于黎曼 Zeta 函数零点和狄利克雷 Beta 函数零点的基本定理的证明。