带狄利克雷特征的Menon恒等式的推广

经典Menon恒等式[7]指出\begin{equation*}\label{oldbegin1} \sum_{\substack{a\in\Bbb Z_n^\ast }}\gcd(a -1,n)=\varphi(n) \sigma_{0} (n), \end{equation*}其中对正整数$n$，$\Bbb Z_n^\ast$为环$\Bbb Z_n=\Bbb Z/n\Bbb Z$的单位群，$\gcd(\ ,\ )$表示最大公约数，$\varphi(n)$为欧拉函数，$\sigma_{k} (n) =\sum_{d|n } d^{k}$为除数函数。本文中，我们以如下方式用狄利克雷特征推广Menon恒等式：\begin{equation*} \sum_{\substack{a\in\Bbb Z_n^\ast b_1, ..., b_k\in\Bbb Z_n}} \gcd(a-1,b_1, ..., b_k, n)\chi(a)=\varphi(n)\sigma_k\left(\frac{n}{d}\right), \end{equation*}其中$k$为非负整数，$\chi$为模$n$且导子为$d$的狄利克雷特征。我们的结果可视为Zhao与Cao结果[16]到$k>0$的推广，也可视为Sury结果[12]到狄利克雷特征的推广。