涉及狄利克雷特征的Menon-Sury恒等式在数域上的推广

对每个正整数$n$，Sita Ramaiah恒等式表述为\medskip \begin{equation*} \sum_{a_1, a_2, a_1+a_2 \in (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^*} \gcd(a_1+a_2-1,n) = \phi_2(n)\sigma_0(n) \; \text{ where } \; \phi_2(n)= \sum_{a_1, a_2, a_1+a_2 \in (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^*} 1, \end{equation*} \medskip 其中$(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^*$是环$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$的单位乘法群，$\sigma_s(n) = \displaystyle\sum_{d\mid n}d^s$。\smallskip 该恒等式也可视为Menon恒等式的推广。在本文中，我们将此恒等式推广到代数数域$K$上，并涉及一个狄利克雷特征$\chi$。我们的结果是文献\cite{wj}和\cite{sury}中近期结果的进一步推广。