关于 Dirichlet 特征的 Menon 型恒等式

设 $\chi$ 为模 $n$ 且导子为 $d$ 的 Dirichlet 特征。在最近的一篇论文中，Zhao 和 Cao 推导出恒等式 $\sum_{k=1}^n (k-1,n) \chi(k)= \varphi(n)\tau(n/d)$，当 $\chi$ 为模 $n$ 的主特征时，该恒等式退化为 Menon 恒等式。我们通过考虑模 $n$ 的偶函数对上述恒等式进行了推广，并提供了一种替代的证明方法。我们还获得了关于 Ramanujan 和的相关公式。