Menon 恒等式的证明、推广与类比：综述

Menon 恒等式指出，对于每个正整数 $n$，都有 $\sum (a-1,n) = \varphi(n) \tau(n)$，其中 $a$ 遍历缩剩余系（mod $n$），$(a-1,n)$ 表示 $a-1$ 和 $n$ 的最大公约数，$\varphi(n)$ 是 Euler 函数，$\tau(n)$ 是 $n$ 的约数个数。Menon 恒等式一直是许多研究论文的主题，近年来也是如此。我们使用不同的方法给出了该恒等式的详细、自洽的证明，并指出了我们在文献中未能找到的那些证明。我们综述了其推广与类比，并概述了 Menon 在其原始论文中给出的结果和证明。还包括了一些历史评述和更新的参考文献列表。