gcd-和函数平均值之和 II

设 $\gcd(k,j)$ 表示整数 $k$ 与 $j$ 的最大公因数，$r$ 为任意固定的正整数。对任意大实数 $x\geq 5$ 及任意算术函数 $f$，定义 $$M_r(x; f) := \sum_{k\leq x}\frac{1}{k^{r+1}}\sum_{j=1}^{k}j^{r}f(\gcd(j,k))$$ 其中 $\phi$ 与 $\psi$ 分别表示欧拉函数与戴德金函数。本文中，我们改进 $M_r(x; {\rm id})$、$M_r(x;{\phi})$ 与 $M_r(x;{\psi})$ 的渐近展开。进一步，在黎曼假设与黎曼 zeta 函数零点简单的条件下，我们对任意满足 $x=[x]+\frac{1}{2}$ 的大正数 $x>5$ 建立了 $M_r(x;{\rm id})$ 的渐近公式。