受限欧拉函数和的算术与渐近性质

本文扩展了我们先前对欧拉函数 $\varphi(n)$ 求和行为的研究。我们研究了两个互补的受限和，$\Upsilon(x,p)=\sum_{\substack{k\le x\\\gcd(k,p)=1}}\varphi(k)$ 与 $\Delta(x,p)=\sum_{\substack{k\le x\\p\mid k}}\varphi(k)$，它们满足分解 $\Psi(x)=\sum_{k\le x}\varphi(k)=\Upsilon(x,p)+\Delta(x,p)$。我们建立了 $\Delta(x,p)$ 的递推公式、同余关系和生成函数恒等式。特别地，我们证明了对于每个素数 $p$，$\Delta(x,p)\equiv 0\pmod{p-1}$，并导出了渐近展开 $\Delta(x,p)=\dfrac{3}{\pi^{2}(p+1)}\,x^{2}+O(x\log x)$。此外，我们研究了平均阶、与 $\omega(n)$ 的联系以及与除数结构的关系。这些结果细化了对算术级数中欧拉函数的解析理解，并补充了 $\Psi(x)$ 的经典渐近理论。