加权素数幂计数函数的渐近展开

我们证明了 $\pi(x)$、$\Pi(x)$、$\operatorname{li}(x)$、$\operatorname{Ri}(x)$ 及相关函数的若干渐近连分数展开,其中 $\pi(x)$ 为素数计数函数,$\Pi(x) = \sum_{k = 1}^\infty \frac{1}{k}\pi(\sqrt[k]{x})$ 为黎曼素数计数函数,$\operatorname{Ri}(x) = \sum_{k=1}^\infty \frac{ \mu(k)}{k} \operatorname{li}(\sqrt[k]{x})$ 为黎曼对素数计数函数的逼近。我们还确定了函数 $\sum_{p \leq x} p^s$(对所有 $\operatorname{Re}(s) > -1$ 的 $s \in \mathbb{C}$)以及函数 $\sum_{a^x < p \leq a^{x+1}} \frac{1}{p}$ 和 $\log \prod_{a^x < p \leq a^{x+1}} (1 -1/p)^{-1}$(对所有实数 $a > 1$)的渐近连分数展开。我们还确定了函数 $\pi(ax)-\pi(bx)$(对 $a > b > 0$)的渐近连分数展开的前几项。作为这些结果的推论,我们确定了这些各类函数的“线性化”版本的最佳有理逼近。