关于 $\pi(x)$ 中高次多项式函数的不等式

本文旨在详细研究 $\pi(x)$ 中高次多项式函数的渐近与数值估计，形式为 \begin{align*} P(\pi(x)) - \frac{e x}{\log x} Q(\pi(x/e)) + R(x) \end{align*} 其中 $P$、$Q$ 和 $R$ 为任意选定的多项式，$\pi(x)$ 表示素数计数函数。证明需要涉及 $\pi(x)$ 与第二切比雪夫函数 $\psi(x)$ 的特定阶估计，以及著名素数定理，此外还需讨论黎曼 zeta 函数 $\zeta(s)$ 的某些亚调函数性质及其非平凡零点相关结果。文中后期还详述了这些概念的若干推广，并引用了一些重要应用。