欧拉函数与真因子和模$p$的分布

我们考虑欧拉函数$\phi(n)$与真因子和函数$s(n):=\sigma(n)-n$在模素数$p$剩余类中的分布。我们证明，对于$5 \le p \le (\log{x})^A$（其中$A$固定但任意），当$n\le x$时与$p$互素的$\phi(n)$值在$p-1$个互素剩余类中渐近均匀分布。我们还证明，对于合数$n$，$s(n)$的值在每个$p\le (\log{x})^A$模所有$p$剩余类中均匀分布。这似乎是首批允许模随$x$显著增长的此类结果。