帕斯卡三角模 $p$ 中剩余类的渐近分布

固定一个素数 $p$，定义 $T_p(n)$ 为帕斯卡三角模 $p$ 第 $n$ 行中非零剩余类的个数，定义 $\phi_p(n)$ 为帕斯卡三角模 $p$ 前 $n$ 行中非零剩余类的个数。我们将这些推广到模 $p$ 的 Dirichlet 特征 $\chi$ 所对应的序列 $T_\chi(n)$ 和 $\phi_\chi(n)$。我们证明了这些序列的许多性质，它们推广了 $T_p(n)$ 和 $\phi_p(n)$ 的性质。定义 $A_n(r)$ 为帕斯卡三角模 $p$ 前 $n$ 行中 $r$ 出现的次数。Guy Barat 与 Peter Grabner 证明了对于所有素数 $p$ 和非零剩余类 $r$，有 $A_n(r)\sim \frac{1}{p-1}\phi_p(n)$。我们给出了这一事实的另一种证明，并给出了误差项的显式界。我们还讨论了 $A_p(r)$ 的分布。